Sección I-D:  Fuerzas que rigen la trayectoria

Todas las ecuaciones enumeradas a continuación están en forma algebraica, en lugar de integrales. Esto se hace para presentar la física en una forma fácilmente comprensible. 

Para todos los cálculos que realicé, tomé la orientación del eje de modo que el eje x se ocupara de la dirección hacia adelante / atrás de la trayectoria (es decir, paralela al suelo), el eje y tratara la dirección hacia arriba / abajo ( es decir, perpendicular al suelo), y el eje z tratado con cualquier movimiento lateral de la bola (como debido a un viento cruzado). Es decir, dividí todo en componentes vectoriales, aunque las ecuaciones no reflejan esto.

Sección I-D-01:  Fuerza de resistencia

La fuerza de resistencia F_D puede ser calculada usando la siguiente fórmula:

F_D = ¹/₂ * C_D * r * A * v ²

dónde C_D es el coeficiente de resistencia.  Para una esfera que no rota, C_D es constante.  Originalmente he estimado que C_D es 0.47; de todas maneras, no es un número estático para el análisis ya que los proyectiles nunca están en un estado de no rotación.  En realidad, C_D tiende a permanecer entre 0.42 y 0.50, dependiendo de la cantidad de giro imprimido.  Para determinar el coeficiente de resistencia, pasa abajo a ver la Sección I-D-07:  Coeficiente de resistencia,

r (rho) es la densisdad del aire ^kg / _m3 (como se discute en la Sección I-B: Densidad del Aire),

A es el área trasversal de la bola. En este caso, se calcula simplemente como el área de un círculo conun diámetro de 6mm. Para mis cálculos, se me ocurrió A = 0.000028274 m² = 0.000304314 ft² =  0.043825132 in²

v es la velocidad instantánea del proyectil. Debido a que la velocidad se deriva del cálculo de resistencia anterior, se introduce un error. La mejor manera de minimizar este error es usar intervalos de tiempo muy, muy pequeños para calcular la velocidad, así como el uso y la aproximación de ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método Runge-Kutta. A intervalos de tiempo de 0,001 segundos, descubrí que el error se había anulado por completo (es decir, al comparar los resultados de las velocidades calculadas utilizando los resultados anteriores y posteriores a la velocidad; los resultados fueron inferiores a 0,1 fps a 150 ').

Además, es útil tener la ecuación para calcular el número de Reynolds para el proyectil:

        Re = D * r * v * u

dónde D es el dimámetro en metros,

 r es la densidad del aire,

v es la velocidad instantánea, y

u (nu) es la viscosidad del aire (la cual es 17.4 x 10^-6 Pa*s a temperatura y presión estándar)

De nuevo, he estimado que C_D es aproximadamente 0.47.  A bajas velocidades, C_D es ligeramente menor, mientras que a altas velocidades se incrementa aproximadamente a 0.5. Técnicamente hablando, una esfera pulida, puede superar una velocidad crítica en la que el C_D se vería enormemente disminuido. Sin embargo, esto es más probable para objetos más grandes y se considera imposible en el ámbito del airsoft. (Para que esto ocurra con un bola de 6 mm, tendría que moverse varias veces más rápido que una bala del 7.62)

En última instancia,  C_D tiende a permanecer entre 0,43 y 0,47, con  C_D aproximado de 0,47 para bolas con poco o ningún giro, y de 0,43 para bolas con alto giro. Es interesante observar que el hopup realmente reduce la resistencia cuando se aplica un giro significativo. Para formas aerodinámicas, la elevación incurre en mayor resistencia al inducir la separación temprana de la capa límite. Sin embargo, para una esfera más bien que es poco aerodinámica, el giro imprimido en realidad, aumenta el flujo laminar resultante en un menor resistencia de fricción. Esto se explica en la Sección III:  Efectos del hop-up. Si bien los cálculos se realizan continuamente a lo largo de la ejecución del modelo para determinar el C_D con precisión, más tarde descubrí que dichos cálculos no eran fundamentales para determinar la trayectoria ni la disipación de energía. Las ejecuciones del modelo con un C_D constante de 0.43 mostraron una trayectoria similar a las ejecuciones del modelo utilizando un C_D de 0.47. Además, la diferencia de velocidad a 100 pies cuando se usan los dos coeficientes de arrastre dispares generalmente fue menor a 5 fps (y la diferencia de energía fue esencialmente insignificante).

Sección I-D-02:  Velocidad

Para determinar la velocidad se usa la siguiente ecuación:

v_f = v_i + a * t

Aquí, la velocidad resultante v_f se calcula tomando la medida de velocidad anterior v_i y agregándola al cambio de velocidad debido a la desaceleración. Bastante sencillo en términos de ecuaciones físicas. Ten en cuenta que la aceleración es la promedio, por lo que, nuevamente, es necesario utilizar pequeños incrementos para minimizar cualquier error.

Una cosa que se debe tener en cuenta, es que la velocidad cambia de una manera no lineal. Lo que esto significa es que si mides la velocidad de la boca del cañón en 300 fps y encuentras que a 40 pies la bola se está moviendo a 200 fps, no puedes asumir que la bola se está moviendo a 250 fps a 20 pies. Esto se debe a que la curva de velocidad representa una caída exponencial. La realidad para el ejemplo dado es que a 20 pies, la bola se movería a unos 235 fps.

Piénsalo de esta manera para un arma que dispara a 300 fps con una bola de 0.20 g, a 5 pies la bola ha disminuido en 18 fps. Mientras recorre la distancia de 5 a 10 pies, solo reduce la velocidad a 16 fps, y durante el intervalo de 10 a 15 pies, solo disminuye la velocidad a 15 fps. Una vez que la bola se aproxima a una velocidad de menos de 100 fps, solo está perdiendo alrededor de 4 fps por cada 5 pies recorridos. Por supuesto, se está moviendo tan lento en ese punto, que en realidad se está moviendo hacia abajo más rápido de lo que se está moviendo horizontalmente.

La velocidad es diferente paa bolas con y sin efecto del hop-up. Las bolas con giro alto, experimentarán menos resistencia y, en última instancia, tendrán un mayor rango de velocidad con menos pérdida de la misma. Esta diferencia de velocidad es pequeña, sin embargo, es notable. A 100 pies, una bola con giro puede moverse hasta 15 fps más rápido que una bola con poca o ninguna rotación. Todos los listados de velocidad en la Sección VIII son para bolas sin giro.

Sección I-D-03:  Distancia

Para determinar la distancia, se usa la siguiente ecuación:

x_f = x_i + v_a * t + ¹/₂ * a * t ²

Aquí, la distancia se calcula de manera incremental donde la distancia resultante x_f se calcula tomando la medida de distancia anterior x_i y agregándola a la velocidad promedio y al cambio de aceleración. De nuevo, bastante sencillo en términos de ecuaciones físicas. Ten en cuenta que aquí tanto la velocidad como la aceleración son los promedios, por lo que, nuevamente, se requieren pequeños incrementos para minimizar cualquier error, así como las técnicas de ecuaciones diferencial ordinarias.

Sección I-D-04:  Fuerza de Magnus

Para calcular la Fuerza de Magnus, he usado la siguiente ecuación:

        F_M = C_L * r *  v ²  * A

dónde C_L es el coeficiente de elevación (explicado en la Sección I-D-08:  Coeficiente de Elevación),

dónde r es la densidad del aire en ^kg/_m3,

dónde v es la velocidad media en metros por segundo

y dónde A es área trasversal del proyectil

Ten en cuenta que la fuerza será ortogonal a la velocidad

Sección I-D-05:  Velocidad Terminal

La velocidad terminal es la máxima velocidad que un objeto puede alcanzar en caída libre en la atmósfera. Se calcula determinando qué velocidad (en el eje y-, ó arriba/abajo) es necesaria para crear suficiente arrastre como para que la fuerza de la resistencia (de nuevo, en la dirección de la y) sea igual a la fuerza de la gravedad. 

        v v_t = ( ( F_g ) / ( ¹/₂ * C_D * r * A) ) ^¹/2

Por ejemplo, una bola de 0.20g y 6mm, tendrá una velocidad terminal de unas 35 mph (ó 52 fps) a nivel del mar a temperatura ambiente.

Sección I-D-06:  Decaimiento de giro

El decaimiento de giro, es la velocidad a la que un objeto sólido y esférico se ralentiza a partir de una velocidad de rotación determinada. Por ejemplo, un CD-ROM puede tener un CD girando a 15,000 rpm (revoluciones por minuto). Si se apagara el CD-ROM (y se deshabilitaran los frenos), podría demorar un minuto dejar de girar con solo la fricción del aire funcionando para desacelerarlo (habría fricción mecánica, pero esto es una situación hipotética). El decaimiento de giro, gobierna la rapidez con la que factores como la fricción del aire, actúan para superar la inercia de la rotación y causan que el giro impartido a una bola por el mecanismo de hop-up se degrade.

Para determinarlo, es necesario establecer Para determinar el decaimiento de giro, es necesario establecer qué cantidad de toque es inducida por la fricción del aire. Desafortunadamente, esta es una de las cosas difíciles de determinar y algunas estimaciones tuvieron que hacerse observando las trayectorias de las bolas desde una vista lateral. Si bien el cálculo del giro es simple, el cálculo del coeficiente de fricción no lo es. Las bolas, como las balas, salen del cañón con una gran cantidad de giro (aunque las bolas no tienen tanto como las balas).A diferencia de las balas, que tienen una inercia rotacional significativa en comparación con el par inducido por la fricción del aire, la velocidad de giro de la bola comienza a degradarse bastante rápidamente. Esta es una sección a la que tendré que volver una vez que haya determinado las constantes reales que se usarán para el decaimiento de giro.

Mientras tanto, he usado ecuaciones de par modificadas para estimar los efectos del hop-up. Si bien las estimaciones son cercanas a la realidad, no son tan precisas como me gustaría (simplemente porque se derivaron de observaciones empíricas en lugar de física pura). Voy a dejar de publicar el conjunto completo de ecuaciones hasta que haya tenido la oportunidad de completar todos los coeficientes. Una vez que he determinado las ecuaciones y los coeficientes adecuados, publicaré las constantes estimadas y las correctas, y volveré a escribir los gráficos solo si es necesario. Agregaré que si está buscando realizar un trabajo de posgrado en ingeniería mecánica o aeronáutica y no has encontrado tema, existe una escasez de información sobre el decaimiento de giro para objetos esféricos. Indirecta, indirecta...

Por el momento, el cálculo actual para el decaimiento de giro, muestra trayectorias cercanas a la realidad. Además, los resultados están muy cerca de otros cálculos para esferas relativamente suaves que experimentan altos números de Reynolds (aunque hay una cuarta fuente que parece estar en desacuerdo con las otras tres). 

En términos de ecuaciones simplificadas para determinar el decaimiento de giro, se utilizaron las siguientes ecuaciones:

La aceleración angular a se calcula

        a = t / I

dónde t es el giro e I es el momento de inercia para una esfera sólida

El giro se calcula

        t = ¹/₂ * C_T * r * r ³ * w ²

dónde C_T  es el coeficiente de giro,

r es el radio de la esfera,

y w es la velocidad angular.

El coeficiente de giro C_T se calcula generalmente como

        C_T = 6.45 / ((Re_w)^¹/2) + 32.1 / Re_w

dónde Re_w es el número de Reynolds para la rotación de la línea central.

El número de Reynolds para la rotación de la línea central Re_w se calcula de manera general como

Re_w = r * r ² * w / h_f

dónde h_f  es el coeficiente de fricción viscosa.

Sección I-D-07:  Coeficiente de Resistencia

Como dije con anterioridad, el coeficiente de resistencia no es un número estático. Tal como la velocidad rotacional V cambia con respecto a la velocidad lineal U, así lo hace el coeficiente de resistencia. Tanto el coeficiente de resistencia como el coeficiente de elevación se han estudiado y determinado, especialmente a través de la investigación de Achenbach * y Mehta **. Afortunadamente para nosotros, el Dr. Gary Dyrkacz ha diseñado las gráficas antiguas y, utilizando SigmaPlot, determinó los polinomios necesarios para calcular tanto C_D como C_L, utilizando datos del estudio de Davies sobre pelotas de golf.***  

(Si tienes oprtunidad, visita la web del Dr. Dyrkacz's The Physics of Paintball ya que su página describe con detalle qué ocurre a un proyectil como una bola de paintball rotando mientras se mueve en el aire, así como proporciona los cálculos basados en ecuaciones además de proporcionar las ecuaciones basadas en el cálculo que son más útiles para nosotros, aunque son mucho más difíciles de escribir!.)

C_D es inicialmente calculado sin giro C_D0, y se determina por la ecuación:

C_D0 = ( 0.4274794 + 0.000001146254 * Re - 7.559635 x 10^-12 * Re² - 3.817309 x 10^-18 * Re³ + 2.389417 x 10^-23 * Re⁴) / (1 - 0.000002120623 * Re + 2.952772 x 10^-11* Re² - 1.914687 x 10^-16 * Re³ +  3.125996 x 10^-22 * Re⁴)

Dónde Re es el Número de the Reynolds.

Con giro, C_D se calcula usando la ecuación:

C_D = ( C_D0 + 2.2132291 * ^V/_U - 10.345178 * ( ^V/_U )² + 16.157030 * ( ^V/_U )³ - 5.27306480 * ( ^V/_U )⁴) / (1 + 3.1077276 * ( ^V/_U ) - 13.6598678 * ( ^V/_U )² + 24.00539887 * ( ^V/_U )³ - 8.340493152 * ( ^V/_U )⁴ + 0.07910093 * ( ^V/_U )⁵);

dónde V es la velocidad rotacional y U es la velocidad lineal.

Ten en cuenta que una esfera con una gran cantidad de giro tendría un CD de alrededor de 0,43, ligeramente inferior al 0,47 que usé para las esferas que no giran.

Sección I-D-08:  Coeficiente de Elevación

De nuevo, he tenido que usar el polinomio del Dr. Dyrkacz's para calcular C_L.  

C_L = (-0.0020907 - 0.208056226 * ( ^V/_U ) + 0.768791456 * ( ^V/_U )² - 0.84865215 * ( ^V/_U )³ + 0.75365982 * ( ^V/_U )⁴) / (1 - 4.82629033 * ( ^V/_U ) + 9.95459464 * ( ^V/_U )² - 7.85649742 * ( ^V/_U )³ + 3.273765328 * ( ^V/_U )⁴);

Sección I-D-09:  Gravedad

Normalmente, la gravedad se puede asumir como una aceleración de masa constante, en la que la aceleración gravitatoria es de aproximadamente 9,8 m/s2. Sin embargo, la gravedad se puede calcular de manera más precisa (y así se hizo en el modelo) utilizando la siguiente ecuación:

A_g = 9.7803185 * [ 1 + ( 0.005278895 * ( sine (Lat) ) ² ) - 0.0000589 * ( sine (2 * Lat) ) ² ) ]

dónde Lat es la latitud en grados. 

La aceleración debida a la gravedad varía desde aproximadamente 9.78 m / s 2 en el ecuador hasta aproximadamente 9.83 m / s 2 en los polos. En verdad, si bien el modelo tuvo en cuenta la variación de la aceleración gravitatoria de acuerdo con la latitud, no fue necesario hacerlo. Los efectos de la gravedad en varias latitudes tienen un efecto minúsculo en la trayectoria; utilizando una constante de 9.8 m / s 2 hubiera sido suficiente.   

* "Experimentos del flujo más allá de las esferas con números de Reynolds muy altos," Achenbach. E., in American Journal of Physics, 54, 565-575 (1972).

** "Aerodinamica de pelotas deportivas," Rabindra D. Mehta, in Annual Review of Fluid Mechanics, 17, pages 151-189 (1985).

*** Davies, J.M., La aerodinámica de las bolas de golf, Journal of Applied Physics, 20, pages 821-828